姜立夫先生（1890－1978）是南开大学的元老，是现代数学在我国最早的富有成效的播种人之一。在创办南开大学数学系和培养我国现代数学工作者中方面，他有着不可磨灭的业绩。

我有幸得到姜立夫先生的直接教导和培育，受益很大。现就记忆所及，记个人所见所闻，以寄托对他的深切怀恋。

南开大学创立于1919年，次年初，姜先生就到校任教。之后来校的有邱宗岳、饶毓泰、杨石先等先生，姜先生和他们一起，构成南开大学理学院的奠基人。那是北洋军阀统治时代，南开大学是私立学校，但教学秩序却较好；经费有限，教职工少，而效率很高。这几位先生正在年富力强之际，所领的薪金比别的学校微薄，却全心全意地办学。数学系只有一位教授，有时有两位，个别时有三位，助教只有一位，姜先生是唯一的台拄，他根据学生情况轮流开设各门主要课程。1926年我进南开大学时，姜先生正在厦门大学讲学，从1927年到1930年三年期间，我就选修了他八门课：高等微积分、立体解析几何、投影几何（即射影几何）、复变函数论、高等代数、N维空间几何、微分几何、非欧几何。1932－1933年，我在南开大学助教时，他正在开设高等几何。这说明，他掌握的数学知识是很广博的，而这也是但是南开大学数学系能保证较高教学质量的一个根本条件。陈省身说过，那时南开大学数学系是“一人系”（One man department），实际就是这样。

接触过姜先生的人都知道他不是一个喜欢发表长篇大论的人，但他讲课总是声音宏亮，字句清楚，快慢适中，要言不繁。他不写讲稿，有些课不用课本，往往只带着一页日历，上面写着提纲，讲起来却层次分明，论证谨严，分析周密，说理透彻。对讲授内容的充分信心和浓厚兴趣以及他严格的逻辑推理，都深深感染着学生。

讲课中他时常提出一些问题，启发学生思考，但并不因此而占用课堂时间。他就像熟悉地理的向导，引导着学生寻幽探胜，使你有时似在峰回路转之中，有时又感到豁然开朗，柳暗花明，不感到攀登的疲劳。听姜先生讲课是一种少有的享受。我认为只有站在相当的高度，又吃透了课程内容，才能做到。

举一个例子来说明姜先生剖析入微的讲课方法。他讲高等微积分时，主要是要求学生掌握那个数学工具，虽然也讲到了ε－δ这种表达极限概念的方法，却并不要求学生必须掌握和运用它。在讲复变函数论时就必须要求学生掌握并能熟练运用ε－δ方法。于是在开讲后不久的一次课上，姜先生就提出了极限的定义问题来问我。我那时也未能真正理解极限的实质。但碰巧不久前我的中学老师刘乙阁先生曾经让我替他抄写美国杂志上一篇关于几何中的极限问题的论文，我就源源本本地背出了极限的定义，不过那个定义是用普通文字表达的，没有用ε和δ。姜先生就以那个文字定义为基础，引出ε－δ这种表达方式，并且对那个文字定义中每一个字的意义，都逐个详细加以解释。这样就使我们能够把刚性认识和理性认识结合起来，把普通语言和数学符号统一起来，掌握极限的实质。后来在讲到一致收敛的概念时，他又让我们阅读G．H．Hardy著的《纯粹数学教程（A Course Offure Mathematics）》的有关部分，做适当的练习，把这个概念利用几何形象表现出来。这种把分析和几何相结合的讲课方法，对我们理解分析概念帮助时很大的。顺便提一下，姜先生讲高等代数时，用的教材是M．Bocher．著的《高等代数引论（Introduction to Higher Algebra）》，那是把代数和几何密切结合的一本好书。D．Hilbert强烈反对把数和形相割裂的做法，当年姜先生对这个问题的态度是和Hilbert一致的。

在授课细节上，姜先生也有很多值得学习的特点，而这些细节都有助于提高教学效果，培养学生一丝不苟的科学态度，因而是他讲课质量很高的重要因素。例如他采用的数学符号，系统性很强，便于“顾名思义”，显然是经过全面而周详的考虑的。他写黑板，计划性也很强，除了公式和绘图外，一般只写少数几个数学名词，节约黑板面积，就可以在它上面保留尽可能多的公式和图，以备后面讲解时参考，他善于使用颜色粉笔绘图，如用什么颜色代表什么，也有系统性。他在黑板上书写时，总是边写边念，绘图时也是边画边讲，从不哑场，讲的人注意力高度集中，听的人注意力也高度集中，使听的人的思路紧紧跟着讲的人的思路。

对于课外作业，姜先生要求也十分严格。学生的练习一律用方格纸书写，画图和做数值计算（把数字填在格内）都较方便。每次布置的习题，下次上课前都要交在讲桌上，再下一次上课时发还。每课程的学生坐位早已排定，学生再练习上自己名字前注上第几排第几坐，发还时，练习按次序排好，学生依次传递，第一排末一人转给第二排末一人，第二排第一人转给第三排第一人，如此下去，顷刻发完，秩序井然。练习批改后用五级记分。一个助教不可能把各课程的练习都包下来，有些练习他就亲自批改或由高年级同学批改。从记分的笔迹上看，即使是别人批改的练习，遇到有创见的答案时，姜先生也亲自审阅评分。

姜先生讲授方法不拘一格。例如他讲授非欧几何时，就组织学生阅读有关文献。在他指导下，轮流报告，这有助于培养学生的阅读能力和组织表达数学内容的能力。又如讲授微分几何时，每讲完一掌，他就让学生把笔记加以整理，定期交来，由他亲自审阅，这有助于培养学生写作能力。他考核成绩的方式也多样化，高等代数的学期考试就用写短文代替，由他分别指定题目和参考文献；非欧几何的学期考试则用写心得代替，内容和题目自选。他注意因材施教，在指定参阅文献时，他总是根据不同学生的条件和特点，区别对待，可以看出姜先生在授课中，曾经用了多少时间，费了多少心血！

姜先生讲授的投影几何和微分几何都没有教材，没有写成教材出版，这也许由于他没有充裕的写作时间，更可能由于他的谦虚谨慎，而谦虚谨慎正是他显著的美德之一。我听他的投影几何课时，他编了一个详细纲要，由刘乙阁先生刻蜡版（乙阁先生刻的蜡版，质量是极高的），发给学生。几年后，当我在南开大学做助教时，他采用的大体上仍然是那个纲要，讲后由我把笔记整理，经他校改后作为讲义印发。我听他微分几何课时所写的笔记，后经他略加核改，也印成讲义，发给以后学习该课的同学，可惜这两分讲义都没有进一步整理出版，在当时那都是具有很高质量的教材。

姜先生十分重视数学文献的搜集和保管。把它作为数学系的重要基本建设。30年代，南开大学的数学图书质量时全国少有的，世界上最重要的数学期刊都是完整的，著名数学家的论文集也是较齐备的。还有许多珍贵的绝版书。1932年，德国汉堡大学的 E．Sperner，经W．Blaschke介绍来中国，在北京大学讲课。他应邀到南开大学访问，当他看到这批珍贵的数学藏书时，翻阅一本又一本，惊叹不止，欣羡备至。1933年日本浪人闹事，治安可虑，为了防备万一，姜先生曾让我协助他把数学藏书包装运出，每包外面标上书名。抗战期间，这些书运到昆明，部分在海防被日本侵略者劫持去了，战后收回一部分，损失了一部分，其中包括一些珍贵的数学书刊。“文化大革命”中，林彪、“四人帮”的读书无用论盛行，又批判“洋奴哲学”，有些书刊订单被粗暴地删砍掉，使许多成套期刊不再成套，实可痛心。据我了解，姜先生在厦门大学和主持国民党中央研究院数学研究所工作时，也同样注意了数学书刊的搜集和订购工作。

姜先生还曾经主持数学名词的审订工作，我二三年级时，曾为他抄写包括中、英、德、法文的数学名词卡片，每月获得10元报酬。这对我是很大的物质支援。

我上大学时，本来是选读物理系。第二年，姜先生从厦门大学回来，我上他讲授的高等微积分和立体解析几何两课，他精辟的讲授对我吸引力很大。姜先生对我是始终十分关怀的。第一学期结束前，他宣布，下学期将开设投影几何课。只有立体解析几何课成绩在B以上（即80分以上）的才能继续选学立体解析几何。到下学期开学选课时，我选了六门课，包括立体解析几何。那时学校规定，一般只能选五门，我选六门已是例外，不能再选投影几何。负责在选课单上签字的理学院院长饶毓泰先生对我说，“你要把立体几何换成投影几何”，我问他为什么，他只微笑，不加说明。后来我才知道，姜先生讲授投影几何而把立体几何交给另一位先生负责。这对我是很大的鼓舞。又过了一个学期，加上一些其他原因，我就从物理系转入了数学系。

我在南开中学学过些德文，到大学三年级又从字母学起。一个学期后，寒假中，姜先生就鼓励我看德文书。他拿了一本关于群论的德文小册子，为我讲解了第一段课文，使我感到并不难懂了。从那时起，我就开始看德文数学书。我在南开大学任助教的一年，他让我在他办公室工作。他看到我书架上摆了好几本从图书馆借来的德文书，他十分高兴地说：“你也发现德文书写得好了。”的确，那时英文书好的还不多，德文书既多又好，选材精当，条理清晰，论证谨严。姜先生指引我看德文书，对我后来的学习起了很大的作用。

1930年我大学毕业，1932年姜先生让我回校工作。那时Sperner刚到北京大学任教。姜先生了解到他让北大一些助教看G.Thomsen写的一篇关于用对称变换群来处理初等几何的论文，就叫我去看。姜先生说，不能在旧文献中找到研究课题，一定要抓住新动向。Sperner来天津，姜先生请他吃饭，约我作陪，并把我介绍给他，说我已看了Thomsen的文章。他就告诉我，希望把Thomsen的公理系统加以改善，还说明了自己的思路。在他的启发下，我做出了一些成果，获得他的赞许。这是我在科学研究中的首次尝试，这是在姜先生引导下开始的。

1933年夏，中英庚款第一届留英公费生招考。姜先生鼓励我报名，我因考期迫近、准备时间短，怕考不好，有点犹豫。姜先生说：“因为你机会很好，他们找我出试题，我没有同意。”简短一句话，既表现了他那无私的品德，对我也是强有力的激励，使我只得遵命报名应试。第二届留英公费生招考时，姜先生才应邀拟了全部数学试题。

在那以后，我和姜先生的接触不多，1934年秋，他路过伦敦时，曾到我住处看我和我爱人。1935年秋他从葛廷根来到汉堡看我们和陈省身。1936年春，我和陈到葛廷根去看他，并和他一起去游览哈尔兹山；那时他正患胃病，但兴致极高。1936年夏，他的侄女姜淑雁和爱人叶楷由美国经汉堡回国，姜先生到汉堡为他们主持婚礼。我们知道，姜先生是在赴美留学前不久结婚的，他夫人在国内病故，二十多年过去，未曾续弦。姜先生抚养教育姜淑雁，就和自己亲女儿一样。新婚夫妇走后，陈问她为什么不续娶，他说：“你们不知道，你们姜先生还有个老情人呢！”我们大为惊奇，不免想寻根究底。他立刻变得严肃起来，说：“我已经说得太多了。”我们不敢再问，姜先生随即回国，不久就同他二十几年前就结识的胡芷华女士结婚。这才揭开了谜底。

抗日战争期间，姜先生在西南联合大学任教，在陈省身协助下兼主持中央研究院数学研究所的筹备工作，他同时从事“圆素几何”和“球素几何”的研究。他用两种特殊方阵分别代表圆和球，使许多经典结果获得了新的面貌，还有不小发展。抗日战争胜利后，他在上海继续主持数学所工作。1948年秋，他来南开大学作了几次关于他所建立的圆素几何和球素几何新体系的报告，还带我到图书馆，把有关文献出处指给我看。我体会，他不无希望我能协助整理他在这方面的研究成果。他回上海后，我把他报告中前半内容写成较详细的材料寄给他审阅，并把我对某个公式所得到的新表达式告诉他。他十分高兴。可惜我未能把这项任务坚持下去，有负姜先生的期望，至今感到十分遗憾，而我的笔记，连同我自己的许多数学论文稿，在“文化大革命”中又都丢失，这个遗憾已无法弥补了。此外，姜先生那次离津前还把他珍藏几十年的美国数学会会刊好几十册赠我。天津解放前夕，国民党军队开进学校，我来不及把它们转移到安全地点，就全部丧失了，至为可惜。

值得庆幸的是，解放后姜先生的研究工作又有了很大发展。他曾在中山大学对一些年轻同志讲述，他遗留下的一些简略的成果资料正由中山大学两位同志整理。他们要我协助，我当然义不容辞。希望这份研究成果将能与世见面，并保存下去。

上海解放前夕，姜先生被迫先把数学研究所的图书装箱运到台湾，随后自己一家也去了。那时天津已经解放，但和台湾仍可通信。我的两个孩子和姜先生两个孩子曾经在上海相识，大的一个八岁，会画画。我叫他画了一张；一只海轮正要靠岸，船上有两个孩子，岸上一个小孩向他们招手，表示欢迎。我给姜先生写信，把画附去。他回信热情赞赏。后来姜先生毅然决然想方设法，摆脱国民党的羁绊，先个人，后家属，都赶在广州解放前回到大陆，在岭南大学任教。姜先生这一着，决定于他的根本政治态度，但是江泽涵先生的大力促成，也起了不小作用。

解放后，南开大学曾大力争取姜先生回校，但未能实现，我也久久没有机会到广州去看他。1964年初，他到北京参加政协全国委员会，专程来津访旧。那时姜先生已逾古稀，仍是那么热情，乐观，兴致勃勃。1974年我因公到广州，到中山大学姜先生宿舍谒见，他高兴极了，拿出许多他家人以及姜淑雁夫妇从美国来探望他的照片，逐张解说。我问是否打算申请把在北方工作的两个孩子姜伯驹兄弟调到广州，以便就近照顾。他说，没有这样的打算。孩子们的事业应该立在他们自己的脚跟上，他们在那里工作都很好，还是留在北方为宜。他为孩子前途着想，胜于为自己。临别时，他说：“客人来我总不下楼送行。今天我特别高兴，一定要下楼。”下楼后，又一定要陪我走路，就在他夫人和我的扶持下，一直走到离校门一半路程的地方，经我再三坚持，他才和我握手道别。1976年冬，我到广州，再去看他。他患肺炎刚好，坐在那里休息，见到我们还是很兴奋。我们不敢和他多谈，留连一阵就告别了。那是我最后一次见到姜先生。

现在，我们处在开创社会主义新局面的新的历史时期，南开大学正在满怀信心地前进。在这大好形势下，我不由得深切怀念南开大学数学系的奠基人，早期的主要缔造者，敬爱的老师姜先生：怀念他为中国的数学事业数十年如一日的献身精神；怀念他一丝不苟的极端严肃的治学态度和循循善诱的教学方法；怀念他奖掖后进的无比热情；怀念他谦虚谨慎，正直无私，光明磊落的高尚品德。早在抗日战争前，在南开大学，姜先生已经培育了一批后来我国数学界熟知的人才，如刘晋年、江泽涵、申又枨、陈省身、孙本旺等；其中江泽涵先生时最早把拓扑学移植到中国来的学者，他自己又培育了中国现代数学，特别是拓扑学方面的年青的一代，姜先生的长子姜伯驹就是其中著名的一位，而陈省身则已成为现代微分几何的巨匠，他的创造性工作大大促进了现代数学的发展。当然，姜先生所直接和间接培植的人才是难以数计的，他们的成就和姜先生这位中国现代数学园地早期的辛勤园丁的艰苦努力也是分不开的。姜先生的业绩将永远记录在中国现代数学发展史上。